Johannes Arpe studierte Schauspiel an der Hochschule für Schauspielkunst »Ernst Busch« Außenstelle Rostock. Seine ersten Theaterengagements führten ihn nach Plauen, Neustrelitz, Basel und Greifswald. Er spielte den Ferdinand in »Kabale und Liebe«, den Herzog von Norfolk in »Richard III.« oder den Pegleg in »The Black Rider«. Seit Mai 2000 hat er einen Lehrauftrag an der Hochschule für Musik und Theater in Rostock. Von 2001 bis 2004 arbeitete er als freier Schauspieler für Bühnen in Hamburg und Jena und spielte bis heute in mehreren Filmen für Fernsehen und Kino, darunter 2007 mit Katharina Thalbach in »Der Mond und andere Liebhaber«.
Seit August 2004 gehört er zum Schauspielensemble des Theaters Rudolstadt. Unter anderem spielte er den Wirt Michael in »Der Held der westlichen Welt«, SS-Hauptscharführer Sommer in »Freunde, das Leben ist lebenswert«, Salieri in »Amadeus«, den Lehrer in »Jugend ohne Gott«, Joseph Schutt in »Eine heikle Sache, die Seele«, den Regisseur in »Der nackte Wahnsinn«, in »Reise, Reise, Ringelnatz«, einen Engel in der Deutschen Erstaufführung von Niklas Rådström »Die Bibel«, den Graf de Guiche in »Cyrano de Bergerac«, die Titelrolle in Molìeres »Der Geizige« sowie Claudius in »Hamlet«.